雖然說沒貼圖會太空白，但是貼了圖會覺得有點不妥……

窮舉法

使用窮舉法 (complete search) 來解決問題是基於「保持著簡單且笨拙 (keep it simple, stupid)」的原則，其目的在於在時間之內解決問題，而不管有沒有比較有效率的演算法。

窮舉法利用了暴搜法 (brute force、straight-forward) 列舉所有可能來找出答案，這種方法可能是你第一個想到的演算法，如果這個方法可以在時間以及空間的限制下求解，那就去做吧！因為這是比較容易寫出而且容易除錯的方法，這就代表你可以有較多時間去處理那些暴搜法不能過的問題。

如果一個問題它的可能答案小於兩百萬，則可以列舉出所有答案看有沒有符合的。
但是小心，請小心
有時候題目不會那麼明顯要求你去使用這種方法。

問題：Party Lamps (IOI 98年)

你有 N 個檯燈和 4 個開關，第一個開關可以切換所有的檯燈狀態 (亦即開變關、關變開)，第二個開關可以切換偶數號的檯燈，第三個開關切換奇數號的檯燈，而最後一個可以切換 1、4、7、10 …… 號的檯燈。

給你檯燈的數量 N、按開關的次數 (大於10000) 和每個檯燈的初始狀態 (例：7號檯燈是關著的)，請輸出所有檯燈最後的可能狀態。

明顯地，如果把每個按鈕都按一次，你必須去試 4 種可能，而總共要試 $4^{10000}$ (大約 $10^{6020}$) 種可能，這意味著使用窮舉法是行不通的 (這種特殊的演算法必須配合遞迴)。無論讓它的可能答案降為 $10000^4$ (大約 $10^{16}$)，這對窮舉法來說依然是個龐大的數字。

然而，對於每個按鈕按兩次，就相當於沒按一樣，所以你只要確認是否那個開關有沒有按就可以了，那麼所有可能只剩 $2^4 = 16$ 種可能，這種數量就可以在時間內解決問題。

問題 3：The Clocks (IOI 94年)

有九個鐘被放在 $3\times{3}$ 的格子內，每個鐘的時間被設定成 12 點、3 點、6 點或 9 點。你的目標就是操作他們讓他們都轉回 12 點，但是不幸地你只有一種方法可以控制它們－－就是從九種已經被設定好的控制方法去選擇其中一種來執行，每種方法會指定某些鐘轉 90 度。

為了要找到最少的步驟將他們都轉回 12 點鐘，最明顯的方法就是使用遞迴來確認多少步驟，但是這種方法所需時間是 $9^k$，而 k 則是移動步數，然而 k 有可能非常大，所以這在合理的時間內並不能完成。

請注意有些步驟是多餘的，因此所需時間可以降為 $k^9$，但這還不能算足夠完善。然而，如果每個步驟做 4 次就相當於沒有做一樣，因此這裡只剩 49 種可能 (262,072種)，我們可以在時間內求出答案。

範例問題

Milking Cows (USACO 1996 Competition Round)

給你一個擠牛奶的行程表 (農夫 A 在單位時間 300 到 1000 之間擠牛奶，農夫 B 在 700 到 1200 之間擠，…… 等等)，請計算出：
至少一隻牛被擠奶的最長時間
沒有牛被擠奶的最長時間

Perfect Cows & Perfect Cow Cousins (USACO 1995 Final Round)

一個完全數 (perfect number) 就是所有真因數 (除了本身以外的正因數) 和為本身的數，舉例來說，28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14；而一對完全數對 (perfect pair，相當於友好數) 就是兩數的真因數和為對方 (例如 220 的真因數和為 284，284 真因數和為 220)；因此，一個完全數群 (perfect sets) 就是第一個數的真因數和為第二個數、第二個數真因數和為第三個數、 …… 、最後一個數真因數和為第一個數。

現在John把他農場內的牛編上 1 至 32000 的數字，一個完全牛 (perfect cow) 就是牛上的數是完全數，而完全牛群就是牛上的數為一個完全數群。請找出所有的完全數牛以及完全數牛群。